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Juliamengen
FAQ der Informatik.Ger
Mandelbrot- und Juliamengen
Was sind Mandelbrot bzw. Juliamengen und wie entstehen diese
hübschen Bilder?
Woher kommt der Name?
Die Dinger heißen Mandelbrot- bzw. Julia-Mengen, weil die
Entdecker Mandelbrot bzw. Julia hießen.
Worauf basieren die Mengen?
Xn+1 = Xn * Xn + C (n und n+1 sind Indizes)
Es werden jeweils komplexe Zahlen als Ausgangswerte in die Formel
eingesetzt. Wird die Iteration dann (in Gedanken) endlos
fortgesetzt, so gibt es Ausgangswerte, bei denen das Ergebnis
unendlich groß ist (setz z.B. mal 100 als Xnull und 0 als C
ein, so siehst du, daß Xn für n->oo auch gegen oo
geht.). Aber es gibt auch Zahlen, bei denen die Iteration auf einen
oder mehrere (dann "springende") Grenzwerte zuläuft und dann
dort bleibt. Die Menge aller komplexen Zahlen, die nicht zu einem
unendlich großen Ergebnis führen, ist dann die
Mandelbrot- bzw. Juliamenge. Die Mandelbrotmenge entsteht, wenn man
Xnull=0 setzt und C variiert. Die Juliamenge entsteht, wenn man
C=-1 setzt und Xnull variiert.
Wie entstehen die Bilder aus den Mengen?
Die Bilder entstehen aus der Darstellung der Menge in der
sogenannten GAUSS'schen Zahlenebene, d.h. ein Koordinatensystem,
dessen X-Achse den reellen und dessen Y-Achse den imaginären
Anteil der Zahlen darstellt, so daß jeder Punkt der Ebene
einer komplexen Zahl entspricht. Die Farbgebung erfolgt
beispielsweise durch Zählen der Iterationen bis zum
Überschreiten des Betrages 2. Je nach Zählstand wird eine
andere Farbe zugeordnet.
Die Randkurve der entstehenden Mengen verläuft in einem
deterministischen Chaos. Sie hat zwischen zwei beliebig nahe
aneinanderliegenden Punkten immer noch unendlich viele
Schnittpunkte mit sich selbst (und Verwindungen usw.). Sie ist bei
der Mandelbrotmenge zusammenhängend, unendlich lang und
umschließt eine endlich große Fläche. Bei
Juliamengen ist sie zusammenhängend, wenn das verwendete C
innerhalb der Mandelbrotmenge liegt. Sie zerfällt aber in
mehrere Teilkurven, wenn C außerhalb der Mandelbrotmenge
liegt.
Wieso kann man bis ins Unendliche in die Bilder
hineinzoomen?
Der Mandelbrot- bzw. Juliamenge lassen sich einige Eigenschaften
zuordnen. So auch die "Unendliche Zoommöglichkeit". Beim
Hineinzoomen stößt man z.B. immer wieder auf ein
verkleinertes Originalbild der Menge. Das Abbild der Menge
enthält sozusagen eine Transformierte Abbildung von sich
selber ("Selbstähnlichkeit"). Dieses Abbild trägt
wiederum eine Verkleinerung von sich selber usw.
Von Erhard Schwenk @ 2:2487/3001.65, 24.3.96
leicht bearbeitet
Erstellt von Ralf Wiebicke, letzte Änderung
01.02.97